شرح ارائه توسط اسلایدهای جداگانه:

1 اسلاید

توضیحات اسلاید:

حل مسائل در نظریه احتمال. معلم ریاضیات MBOU Nivnyanskaya دبیرستان، Nechaeva Tamara Ivanovna

2 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اهداف درس: در نظر بگیرید انواع مختلفمسائل در نظریه احتمال و روش های حل آنها. اهداف درس: آموزش شناخت انواع مختلف مسائل در نظریه احتمال و بهبود تفکر منطقیدانش آموزان

3 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 1. در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن 2 بار پرتاب می شود. احتمال اینکه تعداد سر و دم یکسانی بدست آورید را پیدا کنید.

4 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 2. یک سکه چهار بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت.

5 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 3. در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها دقیقاً یک بار ظاهر شوند را پیدا کنید. راه حل: برای یافتن احتمال وقوع یک رویداد مشخص، لازم است تمام نتایج ممکن آزمایش را در نظر گرفت و سپس نتایج مطلوب را از بین آنها انتخاب کرد (پیامدهای مطلوب، نتایجی هستند که الزامات مسئله را برآورده می کنند). در مورد ما، نتایج مطلوبی خواهد بود که در آن، با دو پرتاب یک سکه متقارن، سرها فقط یک بار بالا می آیند. احتمال یک رویداد به عنوان نسبت تعداد نتایج مطلوب به تعداد کل نتایج محاسبه می شود. بنابراین، احتمال اینکه هنگام دو بار پرتاب یک سکه متقارن، سرها فقط یک بار ظاهر شوند برابر است با: P = 2/4 = 0.5 = 50٪ پاسخ: احتمال اینکه در نتیجه آزمایش فوق، سرها فقط یک بار ظاهر شوند. 50 درصد است. آزمایش شماره 1 پرتاب دوم پرتاب دوم تعداد دفعات سر 1 سر 2 2 دم 0 3 سر دم 1 4 دم سر 1

6 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 4. تاس ها یکبار پرتاب می شوند. احتمال اینکه تعداد نقاط نورد شده بیشتر از 4 باشد چقدر است. راه حل: آزمایش تصادفی - پرتاب قالب. رویداد ابتدایی عددی است که در سمت حذف شده است. پاسخ: 1/3 کل چهره ها: 1، 2، 3، 4، 5، 6 رویداد ابتدایی: N=6 N(A)=2

7 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مشکل 5. یک ورزشکار دوگانه پنج بار به اهداف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.8 است. این احتمال را پیدا کنید که ورزشکار دوگانه سه بار اول به اهداف برخورد کند و دو بار آخر را از دست بدهد. نتیجه را به صدم گرد کنید. راه حل: احتمال ضربه = 0.8 احتمال از دست دادن = 1 - 0.8 = 0.2 A = (ضربه، ضربه، ضربه، از دست رفته، از دست رفته) طبق فرمول ضرب احتمال P(A) = 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 (A) = 0.512 ∙ 0.04 = 0.02048 ≈ 0.02 پاسخ: 0.02

8 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 6. در یک آزمایش تصادفی، دو تاس پرتاب می شود. احتمال 6 بودن مجموع نقاط رسم شده را بیابید. جواب را به نزدیکترین صدم گرد کنید. عدد اول در قالب اول و عدد دوم در عدد دوم ظاهر می شود. نمایش بسیاری از نتایج ابتدایی در یک جدول راحت است. ردیف ها با تعداد نقاط روی قالب اول و ستون ها در قالب دوم مطابقت دارند. تعداد کل رویدادهای ابتدایی n = 36 است. اجازه دهید در هر سلول مجموع نقاط ترسیم شده را بنویسیم و خانه هایی را که مجموع آنها برابر با 6 است رنگ کنیم. این به این معنی است که رویداد A = (the مجموع امتیازهای ترسیم شده 6 است) با 5 نتیجه ابتدایی مورد علاقه است. بنابراین، m = 5. بنابراین، P(A) = 5/36 = 0.14. پاسخ: 0.14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

اسلاید 9

توضیحات اسلاید:

فرمول احتمال قضیه بگذارید یک سکه n بار پرتاب شود. سپس احتمال اینکه هدها دقیقا k بار ظاهر شوند را می توان با فرمول پیدا کرد: جایی که Cnk تعداد ترکیبات n عنصر در k است که با فرمول محاسبه می شود:

10 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 7. یک سکه چهار بار پرتاب می شود. احتمال به دست آوردن سر را دقیقاً سه برابر پیدا کنید. راه حل با توجه به شرایط مسئله، در مجموع n = 4 پرتاب وجود داشت. تعداد عقاب مورد نیاز: k =3. n و k را جایگزین فرمول می کنیم: با موفقیت یکسان، می توانیم تعداد سرها را بشماریم: k = 4 − 3 = 1. پاسخ یکسان خواهد بود. پاسخ: 0.25

11 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 8. یک سکه سه بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت. راه حل اعداد n و k را دوباره یادداشت می کنیم. از آنجایی که سکه 3 بار پرتاب می شود، n = 3. و از آنجایی که نباید سر وجود داشته باشد، k = 0. باقی می ماند که اعداد n و k را در فرمول جایگزین کنیم: بگذارید به شما یادآوری کنم که 0! = 1 طبق تعریف بنابراین C30 = 1. پاسخ: 0.125

12 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مسئله 9. در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن 4 بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها بیشتر از دم ظاهر شوند. راه حل: برای اینکه تعداد سرها بیشتر از دم باشد، باید یا 3 بار ظاهر شوند (سپس 1 دم وجود دارد) یا 4 بار (پس اصلاً دم وجود نخواهد داشت). بیایید احتمال هر یک از این رویدادها را پیدا کنیم. فرض کنید p1 احتمال 3 برابر گرفتن هد باشد. سپس n = 4، k = 3. داریم: حالا اجازه دهید p2 را پیدا کنیم - احتمال اینکه هدها هر 4 بار فرود آیند. در این صورت، n = 4، k = 4. داریم: برای به دست آوردن پاسخ، باید احتمالات p1 و p2 را اضافه کنیم. به یاد داشته باشید: شما فقط می توانید احتمالات را برای رویدادهای متقابل انحصاری اضافه کنید. داریم: p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 پاسخ: 0.3125

اسلاید 13

توضیحات اسلاید:

مشکل 10. قبل از شروع مسابقه والیبال، کاپیتان های تیم قرعه کشی می کنند تا مشخص شود کدام تیم بازی را با توپ شروع می کند. تیم «استاتور» به نوبت با تیم‌های «روتور»، «موتور» و «استارتر» بازی می‌کند. این احتمال را پیدا کنید که استاتور فقط بازی های اول و آخر را شروع کند. راه حل. شما باید احتمال وقوع سه رویداد را پیدا کنید: "Stator" بازی اول را شروع می کند، بازی دوم را شروع نمی کند و بازی سوم را شروع می کند. احتمال حاصلضرب رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها. احتمال هر یک از آنها 0.5 است که از آن می یابیم: 0.5·0.5·0.5 = 0.125. پاسخ: 0.125.

در مسائل مربوط به نظریه احتمالات که در آزمون یکپارچه دولتی شماره 4 ارائه شده است، علاوه بر پرتاب سکه و پرتاب تاس نیز مشکلاتی وجود دارد. امروز آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مشکلات پرتاب سکه

وظیفه 1.یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها دقیقاً یک بار ظاهر شوند را پیدا کنید.

در چنین مسائلی، نوشتن تمام نتایج ممکن، نوشتن آنها با استفاده از حروف P (دم) و O (سر) راحت است. بنابراین، نتیجه OP به این معنی است که در پرتاب اول سرها بالا آمد و در پرتاب دوم از دم بالا آمد. در مسئله مورد بررسی، 4 نتیجه ممکن وجود دارد: PP، RO، OR، OO. رویداد "دم دقیقا یک بار ظاهر می شود" توسط 2 نتیجه مورد علاقه است: RO و OP. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.5.

وظیفه 2.یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود.

در مجموع 8 نتیجه ممکن وجود دارد: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. رویداد "سرها دقیقاً دو بار ظاهر می شوند" توسط 3 نتیجه مورد علاقه است: ROO، ORO، OOR. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.375.

وظیفه 3.قبل از شروع مسابقه فوتبال، داور یک سکه می زند تا مشخص کند کدام تیم با توپ شروع می کند. تیم زمرد سه مسابقه با تیم های مختلف انجام می دهد. این احتمال را پیدا کنید که در این بازی ها "زمرد" دقیقاً یک بار برنده شود.

این کار مشابه کار قبلی است. اجازه دهید هر بار سر فرود به معنای برنده شدن در لات با "زمرد" باشد (این فرض بر محاسبه احتمالات تأثیر نمی گذارد). سپس 8 نتیجه ممکن است: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. رویداد "دم دقیقا یک بار ظاهر می شود" توسط 3 نتیجه مورد علاقه است: ROO، ORO، OOR. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.375.

مشکل 4. یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود. احتمال رخ دادن نتیجه ROO را بیابید (اولین بار که سرها را فرود می‌آورد، بار دوم و سوم که سرها فرود می‌آید).

مانند مشکلات قبلی، 8 نتیجه وجود دارد: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. احتمال وقوع نتیجه ROO برابر است با .

پاسخ: 0.125.

مشکلات پرتاب تاس

وظیفه 5.تاس ها دو بار پرتاب می شوند. چه تعداد از نتایج ابتدایی آزمایش به نفع رویداد "مجموع امتیازها 8 است" است؟

مشکل 6. دو تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال اینکه مجموع 4 امتیاز باشد را پیدا کنید. نتیجه را به صدم گرد کنید.

به طور کلی، زمانی که تاس پرتاب می شود، نتایج به همان اندازه ممکن است. اگر همان قالب چندین بار پشت سر هم بغلتد، همان تعداد نتیجه حاصل می شود.

رویداد "تعداد کل 4 است" با پیامدهای زیر مورد علاقه است: 1 - 3، 2 - 2، 3 - 1. تعداد آنها 3 است. احتمال مورد نیاز است.

برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم زاویه راحت است. بنابراین، تقریباً برابر با 0.083...، گرد شده به نزدیکترین صدم، 0.08 داریم.

پاسخ: 0.08

مسئله 7. سه تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال اینکه مجموع 5 امتیاز باشد را پیدا کنید. نتیجه را به صدم گرد کنید.

ما نتیجه را سه عدد در نظر می گیریم: امتیازهایی که روی اول، دوم و سوم قرار می گیرند تاس. همه نتایج به یک اندازه ممکن وجود دارد. نتایج زیر برای رویداد "مجموع 5" مطلوب است: 1–1–3، 1–3–1، 3–1–1، 1–2–2، 2–1–2، 2–2–1. تعداد آنها 6 است. احتمال مورد نیاز . برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم زاویه راحت است. تقریباً 0.027 ... می گیریم، با گرد کردن به صدم، 0.03 داریم. منبع "آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی. ریاضیات. نظریه احتمال». ویرایش شده توسط F.F. لیسنکو، اس.یو. کولابوخوا

مشکلات پرتاب سکه بسیار دشوار در نظر گرفته می شود. و قبل از حل آنها کمی توضیح لازم است. در مورد آن فکر کنید، هر مشکلی در نظریه احتمال در نهایت به فرمول استاندارد می رسد:

که در آن p احتمال مورد نظر است، k تعداد رویدادهایی است که مناسب ما هستند، n تعداد کل رویدادهای ممکن است.

اکثر مشکلات B6 را می توان با استفاده از این فرمول به معنای واقعی کلمه در یک خط حل کرد - فقط شرط را بخوانید. اما در مورد پرتاب سکه ، این فرمول بی فایده است ، زیرا از متن چنین مسائلی اصلاً مشخص نیست که اعداد k و n برابر هستند. این جایی است که دشواری در آن نهفته است.

با این حال، حداقل دو روش حل اساساً متفاوت وجود دارد:

1. روش شمارش ترکیبات یک الگوریتم استاندارد است. تمام ترکیبات سر و دم نوشته شده است و پس از آن موارد لازم انتخاب می شوند.
2. فرمول احتمال خاص یک تعریف استاندارد از احتمال است که به طور خاص بازنویسی شده است تا کار با سکه ها راحت باشد.

برای حل مشکل B6 باید هر دو روش را بدانید. متأسفانه فقط اولی در مدارس تدریس می شود. اشتباهات مدرسه را تکرار نکنیم. پس بیا بریم!

روش جستجوی ترکیبی

به این روش "راه حل پیش رو" نیز گفته می شود. شامل سه مرحله است:

1. ما تمام ترکیبات ممکن از سر و دم را یادداشت می کنیم. به عنوان مثال: OR، RO، OO، RR. تعداد چنین ترکیباتی n است.
2. در میان ترکیبات به دست آمده، مواردی را که در شرایط مشکل مورد نیاز است، یادداشت می کنیم. ما ترکیب های علامت گذاری شده را می شماریم - عدد k را بدست می آوریم.
3. باقی مانده است که احتمال را پیدا کنیم: p = k: n.

متأسفانه این روش فقط برای تعداد کمی پرتاب کار می کند. زیرا با هر پرتاب جدید تعداد ترکیبات دو برابر می شود. به عنوان مثال، برای 2 سکه شما باید فقط 4 ترکیب را بنویسید. برای 3 سکه در حال حاضر 8 مورد وجود دارد، و برای 4 - 16، و احتمال خطا به 100٪ نزدیک می شود. به مثال ها نگاهی بیندازید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه تعداد سر و دم یکسانی بدست آورید را پیدا کنید.

بنابراین، سکه دو بار پرتاب می شود. بیایید تمام ترکیبات ممکن را بنویسیم (O - heads، P - tails):

مجموع n = 4 گزینه. اکنون بیایید گزینه هایی را که با شرایط مشکل مطابقت دارند، بنویسیم:

k = 2 گزینه وجود داشت احتمال را بیابید:

وظیفه سکه چهار بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت.

دوباره تمام ترکیبات ممکن از سر و دم را می نویسیم:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

در کل n = 16 گزینه وجود داشت. انگار چیزی را فراموش نکرده ام. از بین این گزینه ها، ما فقط به ترکیب "OOOO" بسنده می کنیم که اصلاً حاوی دم نیست. بنابراین، k = 1. باقی مانده است که احتمال را پیدا کنیم:

همانطور که می بینید، در آخرین مشکل مجبور شدم 16 گزینه را بنویسم. آیا مطمئن هستید که می توانید آنها را بدون انجام یک اشتباه بنویسید؟ شخصاً مطمئن نیستم. پس بیایید راه حل دوم را بررسی کنیم.

فرمول احتمال ویژه

بنابراین، مسائل سکه فرمول احتمال خود را دارند. آنقدر ساده و مهم است که تصمیم گرفتم آن را در قالب یک قضیه فرموله کنم. نگاهی بیندازید:

قضیه. بگذارید سکه n بار پرتاب شود. سپس احتمال اینکه هدها دقیقا k بار ظاهر شوند را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

که در آن C n k تعداد ترکیبات n عنصر با k است که با فرمول محاسبه می شود:

بنابراین، برای حل مشکل سکه، به دو عدد نیاز دارید: تعداد پرتاب ها و تعداد سرها. اغلب، این اعداد مستقیماً در متن مسئله آورده می شوند. علاوه بر این، مهم نیست که دقیقاً چه چیزی را حساب می کنید: دم یا سر. پاسخ همان خواهد بود.

در نگاه اول، این قضیه بیش از حد دست و پا گیر به نظر می رسد. اما هنگامی که کمی تمرین کنید، دیگر نمی خواهید به الگوریتم استانداردی که در بالا توضیح داده شد بازگردید.

وظیفه سکه چهار بار پرتاب می شود. احتمال به دست آوردن سر را دقیقاً سه برابر پیدا کنید.

با توجه به شرایط مسئله، n = 4 پرتاب در مجموع وجود داشت: k = 3. n و k را جایگزین فرمول کنید.

وظیفه سکه سه بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت.

دوباره اعداد n و k را یادداشت می کنیم. از آنجایی که سکه 3 بار پرتاب می شود، n = 3. و از آنجایی که نباید سر وجود داشته باشد، k = 0. باقی می ماند که اعداد n و k را در فرمول جایگزین کنیم:

بگذارید به شما یادآوری کنم که 0! = 1 طبق تعریف بنابراین C 3 0 = 1.

وظیفه در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن 4 بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها بیشتر از دم ظاهر شوند.

برای اینکه تعداد سرها بیشتر از دم باشد، باید یا 3 بار ظاهر شوند (پس 1 دم وجود خواهد داشت) یا 4 بار (پس اصلاً دم وجود نخواهد داشت). بیایید احتمال هر یک از این رویدادها را پیدا کنیم.

فرض کنید p 1 احتمال ظاهر شدن هدها 3 بار باشد. سپس n = 4، k = 3. داریم:

حالا بیایید p 2 را پیدا کنیم - احتمال اینکه سرها هر 4 بار ظاهر شوند. در این مورد n = 4، k = 4. داریم:

برای دریافت پاسخ، تنها چیزی که باقی می ماند این است که احتمالات p 1 و p 2 را اضافه کنید. به یاد داشته باشید: شما فقط می توانید احتمالات را برای رویدادهای متقابل انحصاری اضافه کنید. ما داریم:

p = p 1 + p 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125