سوال از یک دانشمند:- شنیده ام که مجموع همه اعداد طبیعی 1/12- است. آیا این نوعی ترفند است یا درست است؟

پاسخ از سرویس مطبوعاتی MIPT- بله، با استفاده از تکنیکی به نام بسط سری یک تابع، می توان چنین نتیجه ای را به دست آورد.

سؤالی که خواننده می‌پرسد کاملاً پیچیده است، و بنابراین ما به آن نه با متن معمول ستون «پرسش از یک دانشمند» از چندین پاراگراف، بلکه با ظاهری بسیار ساده از یک مقاله ریاضی به آن پاسخ می‌دهیم.

در مقالات علمی ریاضیات که نیاز به اثبات چند قضیه پیچیده است، داستان به چند قسمت تقسیم می شود و می توان به نوبه خود گزاره های کمکی مختلفی را اثبات کرد. ما فرض می کنیم که خوانندگان با درس ریاضیات نه کلاسی آشنا هستند، بنابراین پیشاپیش از کسانی که داستان را خیلی ساده می دانند عذرخواهی می کنیم - فارغ التحصیلان می توانند بلافاصله به http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation مراجعه کنند.

مجموع کل

بیایید با صحبت در مورد چگونگی جمع کردن تمام اعداد طبیعی شروع کنیم. اعداد طبیعی- اینها اعدادی هستند که برای شمارش اشیاء کامل استفاده می شوند - همه آنها اعداد صحیح و غیر منفی هستند. این اعداد طبیعی است که کودکان ابتدا یاد می گیرند: 1، 2، 3 و غیره. مجموع تمام اعداد طبیعی عبارتی از شکل 1+2+3+... = و به همین ترتیب ad infinitum خواهد بود.

سری اعداد طبیعی نامتناهی است، اثبات این امر آسان است: از این گذشته، همیشه می توانید یک عدد را به طور دلخواه به یک عدد بزرگ اضافه کنید. یا حتی این عدد را در خودش ضرب کنید یا حتی فاکتوریل آن را محاسبه کنید - واضح است که مقدار بزرگتری به دست خواهید آورد که آن هم یک عدد طبیعی خواهد بود.

همه عملیات با مقادیر بی نهایت زیاد در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرند، اما اکنون برای اینکه کسانی که هنوز این دوره را گذرانده اند ما را درک کنند، ماهیت را تا حدودی ساده می کنیم. بیایید بگوییم آن بی نهایتی که یک به آن اضافه می شود، بی نهایتی که مجذور می شود یا فاکتوریل بی نهایت هنوز بی نهایت است. می توانیم در نظر بگیریم که بی نهایت یک شی ریاضی خاص است.

و طبق تمام قواعد آنالیز ریاضی داخل ترم اول مجموع 1+2+3+...+بی نهایت نیز بی نهایت است. درک این موضوع از پاراگراف قبلی آسان است: اگر چیزی را به بی نهایت اضافه کنید، باز هم بی نهایت خواهد بود.

با این حال، در سال 1913، ریاضی دان برجسته هندی خودآموخته سرینیواسا رامانوجان آیینگور راهی برای جمع کردن اعداد طبیعی به روشی کمی متفاوت ارائه کرد. علیرغم این واقعیت که رامانوجان آموزش ویژه ای دریافت نکرد، دانش او به دوره مدرسه امروز محدود نشد - ریاضیدان از وجود فرمول اویلر-ماکلارین اطلاع داشت. از آنجایی که او نقش مهمی در روایت بعدی دارد، ما نیز باید در مورد او با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

فرمول اویلر- ماکلورین

ابتدا این فرمول را بنویسیم:

همانطور که می بینید، بسیار پیچیده است. برخی از خوانندگان ممکن است این بخش را به طور کامل نادیده بگیرند، برخی ممکن است کتاب های درسی مربوطه یا حداقل مقاله ویکی پدیا را مطالعه کنند و برای بقیه ما یک نظر کوتاه ارائه خواهیم داد. نقش کلیدی در فرمول توسط یک تابع دلخواه f(x) ایفا می شود که تا زمانی که تعداد مشتقات کافی داشته باشد تقریباً هر چیزی می تواند باشد. برای کسانی که با این مفهوم ریاضی آشنایی ندارند (و هنوز تصمیم دارند آنچه را که در اینجا نوشته شده است بخوانند!)، بیایید ساده تر بگوییم - نمودار یک تابع نباید خطی باشد که در هر نقطه به شدت شکسته شود.

مشتق یک تابع، برای ساده کردن معنای آن تا حد امکان، کمیتی است که نشان می دهد تابع چقدر سریع رشد یا کاهش می یابد. از دیدگاه هندسی، مشتق مماس زاویه میل مماس بر نمودار است.

در سمت چپ فرمول مجموع شکل "f(x) مقدار در نقطه m + f(x) مقدار در نقطه m+1 + مقدار f(x) در نقطه m+2 و به همین ترتیب تا نقطه m وجود دارد. +n." علاوه بر این، اعداد m و n اعداد طبیعی هستند، این باید به ویژه تأکید شود.

در سمت راست چندین اصطلاح را می بینیم، و آنها بسیار دست و پا گیر به نظر می رسند. اولین (با dx به پایان می رسد) انتگرال تابع از نقطه m تا نقطه n است. در معرض خطر خشم همه

جمله سوم مجموع اعداد برنولی (B 2k) تقسیم بر فاکتوریل دو برابر مقدار k و ضرب در اختلاف مشتقات تابع f(x) در نقاط n و m است. علاوه بر این، برای پیچیده تر کردن مسائل، این فقط یک مشتق نیست، بلکه مشتقی از مرتبه 2k-1 است. یعنی کل ترم سوم به این صورت است:

عدد برنولی B 2 ("2" از آنجایی که 2k در فرمول وجود دارد و ما شروع به جمع کردن با k=1 می کنیم) تقسیم بر فاکتوریل 2 (در حال حاضر فقط دو است) و در اختلاف مشتقات مرتبه اول ضرب می کنیم. (2k-1 با k=1) تابع f(x) در نقاط n و m است

عدد برنولی B 4 ("4" چون 2k در فرمول وجود دارد و k اکنون برابر با 2 است) بر فاکتوریل 4 تقسیم می شود (1×2x3×4=24) و در اختلاف مشتقات مرتبه سوم ضرب می شود. 2k-1 برای k=2) تابع f(x) در نقاط n و m است

عدد برنولی B 6 (به بالا مراجعه کنید) بر فاکتوریل 6 (1×2x3×4x5×6=720) تقسیم می شود و در اختلاف مشتقات مرتبه پنجم (2k-1 برای k=3) تابع f(x) ضرب می شود. ) در نقاط n و m

جمع تا k=p ادامه دارد. اعداد k و p با مقادیر دلخواه به دست می آیند، که می توانیم به روش های مختلف، همراه با m و n انتخاب کنیم - اعداد طبیعی که مساحت مورد نظر ما را با تابع f(x) محدود می کنند. یعنی فرمول حاوی چهار پارامتر است، و این، همراه با دلخواه بودن تابع f(x)، زمینه زیادی را برای تحقیق باز می کند.

متأسفانه R معمولی باقی مانده در اینجا یک ثابت نیست، بلکه یک ساختار نسبتاً دست و پا گیر است که از طریق اعداد برنولی که قبلاً در بالا ذکر شد بیان می شود. اکنون زمان آن است که توضیح دهیم که چیست، از کجا آمده است، و چرا ریاضیدانان شروع به بررسی چنین عبارات پیچیده ای کردند.

اعداد برنولی و بسط سری

در تجزیه و تحلیل ریاضی این وجود دارد مفهوم کلیدیبه عنوان گسترش سریال این بدان معنی است که شما می توانید تابعی را بردارید و آن را مستقیماً بنویسید (مثلاً y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x)، بلکه به صورت مجموع نامتناهی از مجموعه ای از اصطلاحات از همان نوع . به عنوان مثال، بسیاری از توابع را می توان به عنوان مجموع توابع توان ضرب در برخی ضرایب نشان داد - یعنی یک نمودار پیچیده به ترکیبی از منحنی های خطی، درجه دوم، مکعب ... و غیره کاهش می یابد.

در تئوری پردازش سیگنال الکتریکی نقش بزرگبه اصطلاح سری فوریه را پخش می کند - هر منحنی را می توان به مجموعه ای از سینوس ها و کسینوس های دوره های مختلف گسترش داد. چنین تجزیه ای برای تبدیل سیگنال از میکروفون به دنباله ای از صفر و یک در داخل مدار الکترونیکی تلفن همراه ضروری است. بسط سری همچنین به ما امکان می دهد که توابع غیر ابتدایی را در نظر بگیریم، و تعدادی از مهمترین معادلات فیزیکی، وقتی حل می شوند، عبارات را به صورت یک سری و نه به صورت ترکیبی محدود از توابع ارائه می دهند.

در قرن هفدهم، ریاضیدانان شروع به مطالعه دقیق نظریه سری ها کردند. کمی بعد، این به فیزیکدانان اجازه داد تا فرآیندهای گرمایش اجسام مختلف را به طور مؤثر محاسبه کنند و بسیاری از مسائل دیگر را که در اینجا در نظر نخواهیم گرفت، حل کنند. ما فقط متذکر می شویم که در برنامه MIPT، مانند دروس ریاضی همه دانشگاه های پیشرو فیزیک، حداقل یک ترم به معادلات با راه حل ها در قالب یک یا سری دیگر اختصاص داده شده است.

ژاکوب برنولی مسئله جمع اعداد طبیعی به توان یکسان (مثلاً 1^6 + 2^6 + 3^6 + ...) را مطالعه کرد و اعدادی به دست آورد که با کمک آنها می توان سایر توابع را به سری توانی ذکر شده گسترش داد. بالا - به عنوان مثال، tan(x). اگرچه، به نظر می رسد، مماس شباهت زیادی به سهمی یا هر تابع توانی ندارد!

چند جمله ای های برنولی بعداً نه تنها در معادلات فیزیک ریاضی، بلکه در نظریه احتمالات نیز کاربرد پیدا کردند. این، به طور کلی، قابل پیش بینی است (بالاخره، تعدادی از فرآیندهای فیزیکی - مانند حرکت براونی یا فروپاشی هسته ای - دقیقاً ناشی از انواع مختلف حوادث هستند)، اما هنوز هم شایسته ذکر ویژه است.

فرمول دست و پا گیر اویلر- ماکلورین توسط ریاضیدانان برای اهداف مختلف مورد استفاده قرار گرفته است. از آنجایی که از یک طرف شامل مجموع مقادیر توابع در نقاط خاصی است و از طرف دیگر انتگرال ها و بسط های سری وجود دارد، با استفاده از این فرمول می توانیم (بسته به آنچه می دانیم) چگونه یک انتگرال مختلط، و مجموع سری را تعیین کنید.

Srinivasa Ramanujan برنامه دیگری برای این فرمول ارائه کرد. او آن را کمی اصلاح کرد و عبارت زیر را دریافت کرد:

او به سادگی x را به عنوان یک تابع f(x) در نظر گرفت - اجازه دهید f(x) = x، این یک فرض کاملاً قانونی است. اما برای این تابع، مشتق اول به سادگی برابر با یک است و مشتق دوم و تمام موارد بعدی برابر با صفر هستند: اگر همه چیز را با دقت در عبارت فوق جایگزین کنیم و اعداد برنولی مربوطه را تعیین کنیم، دقیقاً −1/ به دست می‌آید. 12.

این البته توسط خود ریاضیدان هندی به عنوان چیزی غیرعادی تلقی شد. از آنجایی که او فقط خودآموخته نبود، بلکه یک خودآموخته با استعداد بود، از کشفی که پایه های ریاضیات را پایمال کرد به همه نگفت، بلکه نامه ای به گادفری هاردی، متخصص شناخته شده در زمینه هر دو نظریه اعداد نوشت. و آنالیز ریاضی به هر حال، نامه حاوی یادداشتی بود که هاردی احتمالاً می خواهد نویسنده را به نزدیکترین بیمارستان روانی راهنمایی کند: با این حال، نتیجه، البته، یک بیمارستان نبود، بلکه کار مشترک بود.

پارادوکس

با جمع بندی همه چیزهایی که در بالا گفته شد، به این نتیجه می رسیم: مجموع همه اعداد طبیعی در هنگام استفاده برابر با 1/12 است. فرمول خاص، که به شما امکان می دهد یک تابع دلخواه را به یک سری خاص با ضرایبی به نام اعداد برنولی گسترش دهید. اما این بدان معنا نیست که 1+2+3+4 بزرگتر از 1+2+3+... و غیره تا بی نهایت است. در این مورد با یک پارادوکس روبرو هستیم که به این دلیل است که بسط سری نوعی تقریب و ساده سازی است.

می‌توانیم مثالی از یک پارادوکس ریاضی بسیار ساده‌تر و بصری‌تر ارائه دهیم که با بیان یک چیز از طریق چیز دیگر مرتبط است. بیایید یک ورق کاغذ را در یک جعبه برداریم و یک خط پله ای بکشیم که عرض و ارتفاع پله یک جعبه باشد. طول چنین خطی آشکارا برابر است با دو برابر تعداد سلول ها، اما طول مورب صاف کردن "نردبان" برابر است با تعداد سلول هایی که در ریشه دو ضرب می شود. اگر نردبان را خیلی کوچک کنید، باز هم همان طول خواهد بود و خط شکسته که عملاً از مورب قابل تشخیص نیست، ریشه دو برابر بزرگتر از آن قطر خواهد بود! همانطور که می بینید، برای مثال های متناقض طولانی بنویسید فرمول های پیچیدهاصلا لازم نیست

فرمول اویلر- ماکلورین، بدون وارد شدن به وحشی تجزیه و تحلیل ریاضی، همان تقریب خط شکسته به جای یک خط مستقیم است. با استفاده از این تقریب، می توانید همان -1/12 را بدست آورید، اما این همیشه مناسب و موجه نیست. در تعدادی از مسائل در فیزیک نظری، از محاسبات مشابه برای محاسبات استفاده می شود، اما این لبه برش تحقیق است، جایی که صحبت در مورد نمایش صحیح واقعیت توسط انتزاعات ریاضی خیلی زود است، و اختلاف بین محاسبات مختلف کاملاً وجود دارد. مشترک

بنابراین، تخمین چگالی انرژی خلاء بر اساس نظریه میدان کوانتومی و بر اساس مشاهدات اخترفیزیکی بیش از 120 مرتبه قدر متفاوت است. یعنی 10^120 برابر. این یکی از مسائل حل نشده فیزیک مدرن است. این به وضوح شکافی را در دانش ما از جهان نشان می دهد. یا مشکل فقدان روش های ریاضی مناسب برای توصیف دنیای اطراف است. فیزیکدانان نظری، همراه با ریاضیدانان، در تلاشند تا راه‌هایی را برای توصیف فرآیندهای فیزیکی بیابند که در آن سری‌های واگرا (تا بی‌نهایت) ایجاد نمی‌شوند، اما این از ساده‌ترین کار دور است.

پیمایش صفحه:

تعریف. اعداد طبیعی- اینها اعدادی هستند که برای شمارش استفاده می شوند: 1، 2، 3، ...، n، ...

مجموعه اعداد طبیعی معمولا با نماد نشان داده می شود ن(از لات طبیعی- طبیعی).

اعداد طبیعی در سیستم اعشاریاعداد با ده رقم نوشته می شوند:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

مجموعه اعداد طبیعی است مجموعه سفارش داده شده، یعنی برای هر عدد طبیعی m و n یکی از روابط زیر صادق است:

• یا m = n (m برابر است با n)،
• یا m > n (m بزرگتر از n)،
• یا م< n (m меньше n ).

• حداقل طبیعیشماره یک (1)
• بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد.
• صفر (0) یک عدد طبیعی نیست.

مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است، زیرا برای هر عدد n همیشه یک عدد m بزرگتر از n وجود دارد

از اعداد طبیعی مجاور، عددی که در سمت چپ n قرار دارد نامیده می شود شماره قبلی nو عددی که در سمت راست است نامیده می شود بعدی بعد از n.

عملیات روی اعداد طبیعی

عملیات بسته روی اعداد طبیعی (عملیاتی که منجر به اعداد طبیعی می شود) شامل عملیات حسابی زیر است:

• اضافه
• ضرب
• توانمندی a b که a پایه و b توان است. اگر مبنا و توان اعداد طبیعی باشند، نتیجه یک عدد طبیعی خواهد بود.

علاوه بر این، دو عملیات دیگر نیز در حال بررسی است. از نقطه نظر رسمی، آنها عملیات روی اعداد طبیعی نیستند، زیرا نتیجه آنها همیشه یک عدد طبیعی نخواهد بود.

• تفریق(در این مورد، Minuend باید بزرگتر از Subtrahend باشد)
• بخش

طبقات و رتبه ها

مکان، موقعیت (موقعیت) یک رقم در یک رکورد عددی است.

پایین ترین رتبه، رتبه سمت راست است. مهمترین رتبه رتبه سمت چپ است.

مثال:

5 - واحد، 0 - دهها، 7 - صدها،
2 - هزار، 4 - دهها هزار، 8 - صدها هزار،
3 - میلیون، 5 - دهها میلیون، 1 - صد میلیون

برای سهولت در خواندن، اعداد طبیعی به گروه های سه رقمی تقسیم می شوند که از سمت راست شروع می شود.

کلاس- گروهی از سه رقم که از سمت راست شروع می شود، عدد به آنها تقسیم می شود. آخرین کلاس ممکن است شامل سه، دو یا یک رقم باشد.

• طبقه اول کلاس واحدهاست.
• طبقه دوم طبقه هزاران است;
• طبقه سوم طبقه میلیونی است.
• طبقه چهارم، طبقه میلیاردی است.
• طبقه پنجم - کلاس تریلیون ها؛
• کلاس ششم - کلاس کوادریلیون ها (کوادریلیون ها)؛
• طبقه هفتم طبقه کوینتیلیون ها (کوئینتیلیون ها) است.
• کلاس هشتم - کلاس ششتیلیون;
• کلاس نهم - کلاس سپتیلیون;

مثال:

34 - میلیارد و 456 میلیون و 196 هزار و 45

مقایسه اعداد طبیعی

1. مقایسه اعداد طبیعی با ارقام مختلف

   در بین اعداد طبیعی، عددی که ارقام بیشتری دارد بزرگتر است

2. مقایسه اعداد طبیعی با تعداد ارقام مساوی

   اعداد را ذره ذره مقایسه کنید، با مهم ترین رقم شروع کنید. واحدی که دارای واحدهای بیشتری در بالاترین رتبه به همین نام باشد بیشتر است

مثال:

3466 > 346 - زیرا عدد 3466 از 4 رقم و عدد 346 از 3 رقم تشکیل شده است.

34666 < 245784 - زیرا عدد 34666 از 5 رقم و عدد 245784 از 6 رقم تشکیل شده است.

مثال:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

دومین عدد طبیعی با تعداد ارقام مساوی از 6 > 2 بزرگتر است.

تاریخچه اعداد طبیعی در دوران ابتدایی آغاز شد.از زمان های قدیم، مردم اشیا را می شمردند. به عنوان مثال، در تجارت به حساب کالا یا در ساخت و ساز به حساب مصالح نیاز داشتید. بله، حتی در زندگی روزمره نیز مجبور بودم چیزها، غذاها، دام ها را بشمارم. در ابتدا اعداد فقط برای شمارش در زندگی و در عمل مورد استفاده قرار می گرفتند، اما بعدها با پیشرفت ریاضیات بخشی از علم شدند.

اعداد طبیعی- اینها اعدادی هستند که هنگام شمارش اشیاء استفاده می کنیم.

به عنوان مثال: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20، ….

صفر یک عدد طبیعی نیست.

همه اعداد طبیعی، یا بیایید آن را مجموعه اعداد طبیعی بنامیم، با نماد N نشان داده می شوند.

جدول اعداد طبیعی

سریال طبیعی.

اعداد طبیعی که در یک ردیف به صورت صعودی نوشته می شوند سریال طبیعییا یک سری اعداد طبیعی

خواص سری طبیعی:

• کوچکترین عدد طبیعی یک است.
• در یک سری طبیعی، عدد بعدی بزرگتر از یک به یک است. (1، 2، 3، ...) در صورت غیرممکن بودن تکمیل دنباله اعداد، سه نقطه یا بیضی قرار می گیرد.
• سری طبیعی بزرگترین عدد را ندارد، بی نهایت است.

مثال شماره 1:
5 عدد طبیعی اول را بنویسید.
راه حل:
اعداد طبیعی از یک شروع می شوند.
1, 2, 3, 4, 5

مثال شماره 2:
آیا صفر یک عدد طبیعی است؟
پاسخ: خیر

مثال شماره 3:
عدد اول در چیست سریال طبیعی?
پاسخ: سریال طبیعی از یک شروع می شود.

مثال شماره 4:
آخرین عدد در سری طبیعی چیست؟ بزرگترین عدد طبیعی کدام است؟
پاسخ: سریال طبیعی با یک شروع می شود. هر عدد بعدی بزرگتر از عدد قبلی است، بنابراین عدد آخر وجود ندارد. بزرگترین عدد وجود ندارد.

مثال شماره 5:
آیا یکی از سریال های طبیعی شماره قبلی دارد؟
پاسخ: خیر، زیرا یک عدد اول در سری طبیعی است.

مثال شماره 6:
عدد بعدی را در سری طبیعی نام ببرید: الف) 5، ب) 67، ج) 9998.
پاسخ: الف) 6، ب) 68، ج) 9999.

مثال شماره 7:
چند عدد در سری طبیعی بین اعداد وجود دارد: الف) 1 و 5، ب) 14 و 19.
راه حل:
الف) 1، 2، 3، 4، 5 - سه عدد بین اعداد 1 و 5 قرار دارند.
ب) 14، 15، 16، 17، 18، 19 - چهار عدد بین اعداد 14 و 19 قرار دارند.

مثال شماره 8:
بعد از ۱۱ عدد قبلی را بگویید.
جواب: 10.

مثال شماره 9:
هنگام شمارش اجسام از چه اعدادی استفاده می شود؟
پاسخ: اعداد طبیعی.

اعداد طبیعی یکی از قدیمی ترین مفاهیم ریاضی هستند.

در گذشته های دور، مردم اعداد را نمی دانستند و زمانی که نیاز به شمارش اشیا (حیوانات، ماهی ها و غیره) داشتند، این کار را متفاوت از ما اکنون انجام می دادند.

تعداد اشیاء را با قسمت‌هایی از بدن، مثلاً با انگشتان دست مقایسه می‌کردند و می‌گفتند: به تعداد انگشتان دستم آجیل دارم.

با گذشت زمان، مردم متوجه شدند که پنج آجیل، پنج بز و پنج خرگوش دارایی مشترک دارند - تعداد آنها برابر با پنج است.

به خاطر بسپار!

اعداد طبیعی- اینها اعدادی هستند که از 1 شروع می شوند و با شمارش اشیا به دست می آیند.

1, 2, 3, 4, 5…

کوچکترین عدد طبیعی — 1 .

بزرگترین عدد طبیعیوجود ندارد.

هنگام شمارش از عدد صفر استفاده نمی شود. بنابراین، صفر یک عدد طبیعی محسوب نمی شود.

مردم نوشتن اعداد را خیلی دیرتر از شمارش یاد گرفتند. اول از همه، آنها شروع به به تصویر کشیدن یک با یک چوب، سپس با دو چوب - شماره 2، با سه - شماره 3 کردند.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

سپس ظاهر شدند نشانه های خاصبرای نشان دادن اعداد - پیشینیان اعداد مدرن. اعدادی که ما برای نوشتن اعداد استفاده می کنیم، تقریباً 1500 سال پیش در هند به وجود آمدند. اعراب آنها را به اروپا آوردند و به همین دلیل به آنها می گویند اعداد عربی.

در کل ده عدد وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. با استفاده از این اعداد می توانید هر عدد طبیعی را بنویسید.

به خاطر بسپار!

سریال طبیعیدنباله همه اعداد طبیعی است:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

در سری طبیعی هر عدد از عدد قبلی 1 بزرگتر است.

سری طبیعی بی نهایت است.

سیستم شمارشی که ما استفاده می کنیم نامیده می شود اعشاری موقعیتی.

اعشاری زیرا 10 واحد از هر رقم، 1 واحد از مهمترین رقم را تشکیل می دهد. موقعیتی چون معنای یک رقم به جای آن در رکورد عدد یعنی رقمی که در آن نوشته شده بستگی دارد.

مهم!

طبقات پس از میلیارد بر اساس نام لاتین اعداد نامگذاری می شوند. هر واحد بعدی شامل هزار واحد قبلی است.

• 1,000 میلیارد = 1,000,000,000,000 = 1 تریلیون («سه» لاتین به معنای «سه» است)
• 1,000 تریلیون = 1,000,000,000,000,000 = 1 کوادریلیون ("quadra" لاتین به معنای "چهار" است)
• 1,000 کوادریلیون = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 کوینتیلیون ("quinta" لاتین به معنی "پنج" است)

با این حال، فیزیکدانان عددی را یافته اند که از تعداد تمام اتم ها (کوچکترین ذرات ماده) در کل جهان بیشتر است.

این شماره دریافت شد نام خاص — گوگول. گوگول عددی با 100 صفر است.