قبل از شروع حل مسائل، باید چند نکته ساده را درک کنیم.

عدد اعشاری 875 را در نظر بگیرید. آخرین رقم عدد (5) باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 10 است. دو رقم آخر عدد 75 را تشکیل می دهند - این باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 100 است. عبارات مشابه هستند. برای هر سیستم عددی درست است:

آخرین رقم یک عدد باقیمانده هنگام تقسیم این عدد بر پایه سیستم اعداد است.

دو رقم آخر یک عدد با تقسیم عدد بر پایه مجذور باقی مانده است.

به عنوان مثال، . 23 را بر پایه سیستم 3 تقسیم کنید، 7 و 2 را به عنوان باقیمانده بدست می آوریم (2 برابر است آخرین رقماعداد در سیستم سه تایی). 23 را بر 9 تقسیم کنید (مبنا به مجذور)، 18 و 5 را به عنوان باقیمانده بدست می آوریم (5 = ).

بیایید دوباره به سیستم اعشاری معمول برگردیم. عدد = 100000. یعنی 10 به توان k یک و k صفر است.

یک عبارت مشابه برای هر سیستم عددی صادق است:

پایه سیستم اعداد به توان k در این سیستم اعداد به صورت یک و k صفر نوشته می شود.

به عنوان مثال، .

1. یافتن پایه سیستم اعداد

مثال 1.

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 27 به صورت 30 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

اجازه دهید پایه مورد نظر را x نشان دهیم. سپس .i.e. x = 9.

مثال 2.

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 13 به صورت 111 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

اجازه دهید پایه مورد نظر را x نشان دهیم. سپس

معادله درجه دوم را حل می کنیم، ریشه های 3 و -4 را بدست می آوریم. از آنجایی که پایه سیستم اعداد نمی تواند منفی باشد، پاسخ 3 است.

جواب: 3

مثال 3

جدا شده با کاما، به ترتیب صعودی، تمام پایه های سیستم های اعداد را نشان می دهد که در آنها عدد 29 به 5 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم‌ها عدد 29 به 5 ختم می‌شود، آنگاه عددی که با 5 کاهش می‌یابد (29-5 = 24) به 0 ختم می‌شود. قبلاً گفته‌ایم که یک عدد در صورتی که بر مبنای آن بخش پذیر باشد به 0 ختم می‌شود. سیستم بدون باقیمانده آن ها ما باید تمام اعدادی را که مقسوم‌کننده‌های عدد 24 هستند، پیدا کنیم. 5 (و در مسئله فرمول بندی، عدد 29 به 5 ختم می شود)، یعنی سیستم های دارای پایه باقی می مانند: 6، 8، 12،

پاسخ: 6، 8، 12، 24

مثال 4

جدا شده با کاما، به ترتیب صعودی، تمام پایه های سیستم های اعداد را نشان می دهد که در آنها عدد 71 به 13 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم ها یک عدد به 13 ختم شود، پایه این سیستم کمتر از 4 نیست (در غیر این صورت عدد 3 در آنجا وجود ندارد).

عددی که 3 کاهش یابد (71-3=68) به 10 ختم می شود. یعنی. 68 به طور کامل بر پایه مورد نظر سیستم تقسیم می شود و ضریب آن با تقسیم بر پایه سیستم باقیمانده 0 را به دست می دهد.

بیایید تمام مقسوم علیه های عدد 68 را بنویسیم: 2، 4، 17، 34، 68.

2 مناسب نیست، زیرا پایه کمتر از 4 نیست. بیایید مقسوم علیه های باقی مانده را بررسی کنیم:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (استراحت 1) - مناسب

68:17 = 4; 4:17 = 0 (استراحت 4) - مناسب نیست

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) - مناسب نیست

68:68 = 1; 1:68 = 0 (استراحت 1) - مناسب

جواب: 4.68

2. جستجو برای اعداد بر اساس شرایط

مثال 5

تمام اعداد اعشاری بیش از 25 را که علامت آنها در سیستم چهار عددی پایه به 11 ختم می شود، با کاما به ترتیب صعودی از هم جدا کنید؟

راه حل:

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 25 در سیستم اعداد پایه 4 چگونه به نظر می رسد.

آن ها ما باید تمام اعداد را پیدا کنیم، نه بیشتر از، که به 11 ختم می شوند. طبق قانون شمارش متوالی در سیستم پایه 4،
اعداد و . ما آنها را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل می کنیم:

پاسخ: 5، 21

3. حل معادلات

مثال 6

معادله را حل کنید:

پاسخ خود را در سیستم سه تایی بنویسید (نیازی به نوشتن پایه سیستم اعداد در پاسخ شما نیست).

راه حل:

بیایید همه اعداد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم:

معادله درجه دوم ریشه های 8- و 6 دارد (زیرا پایه سیستم نمی تواند منفی باشد). .

جواب: 20

4. شمارش تعداد یک ها (صفر) در نماد دودویی مقدار یک عبارت

برای حل این نوع مسائل، باید به یاد داشته باشیم که جمع و تفریق ستونی چگونه کار می کند:

هنگام جمع کردن، یک جمع بیتی از ارقام نوشته شده در زیر یکدیگر رخ می دهد، که با کمترین رقم شروع می شود. اگر مجموع دو رقم حاصل از پایه سیستم اعداد بزرگتر یا مساوی باشد، باقیمانده حاصل از تقسیم این مجموع بر مبنای سیستم اعداد زیر ارقام جمع شده نوشته می شود و قسمت صحیح تقسیم این مجموع بر پایه سیستم به مجموع ارقام زیر اضافه می شود.

هنگام تفریق، ارقامی که زیر یکدیگر نوشته شده اند، به صورت بیتی کم می شوند و با کمترین رقم شروع می شوند. اگر رقم اول کمتر از رقم دوم باشد، یکی را از رقم مجاور (بزرگتر) "قرض می گیریم". واحد اشغال شده در رقم فعلی برابر است با پایه سیستم اعداد. در اعشار 10، در باینری 2، در سه تایی 3 و غیره است.

مثال 7

چند واحد در نماد دودویی مقدار عبارت وجود دارد:؟

راه حل:

بیایید تمام اعداد در عبارت را به عنوان توان دو تصور کنیم:

در نمادگذاری دودویی، 2 به توان n به نظر می رسد 1 به دنبال n صفر است. سپس با جمع کردن و عددی حاوی 2 واحد به دست می آید:

حالا 10000 را از عدد بدست آمده کم می کنیم، طبق قوانین تفریق، از رقم بعدی وام می گیریم.

حالا 1 را به عدد حاصل اضافه کنید:

می بینیم که نتیجه 2013+1+1=2015 واحد است.

مفاهیم اساسی سیستم های اعداد

سیستم اعداد مجموعه ای از قوانین و تکنیک ها برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه ای از کاراکترهای دیجیتال است. تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن یک عدد در یک سیستم را پایه سیستم اعداد می گویند. پایه سیستم در سمت راست عدد در زیرنویس نوشته شده است: ; ; و غیره

دو نوع سیستم اعداد وجود دارد:

موقعیتی، زمانی که مقدار هر رقم از یک عدد با موقعیت آن در رکورد شماره تعیین می شود.

غیر موقعیتی، زمانی که مقدار یک رقم در یک عدد به جایگاه آن در نماد عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، رومی است: اعداد IX، IV، XV و غیره. نمونه ای از سیستم اعداد موقعیتی، سیستم اعشاری است که هر روز استفاده می شود.

هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:

که در آن S پایه سیستم اعداد است.

ارقام یک عدد نوشته شده در یک سیستم عددی معین.

n تعداد ارقام عدد است.

مثال. شماره به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود:

انواع سیستم اعداد

سیستم اعداد رومی یک سیستم غیر موقعیتی است. برای نوشتن اعداد از حروف الفبای لاتین استفاده می کند. در این صورت حرف I همیشه به معنی یک است، حرف V به معنی پنج، X به معنی ده، L به معنی پنجاه، C به معنای صد، D به معنای پانصد، M به معنای هزار و غیره است. مثلا عدد 264 به صورت CCLXIV نوشته می شود. هنگام نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی، مقدار یک عدد مجموع جبری ارقام موجود در آن است. در این حالت، ارقام موجود در رکورد اعداد، قاعدتاً به ترتیب نزولی از مقادیر خود تبعیت می کنند و نوشتن بیش از سه در کنار یکدیگر مجاز نیست. اعداد یکسان. هنگامی که یک رقم با مقدار بزرگتر با یک رقم با مقدار کوچکتر دنبال می شود، سهم آن در مقدار کل عدد منفی است. نمونه های معمولی نشان می دهد قوانین کلیرکوردهای اعداد در سیستم اعداد رومی در جدول آورده شده است.

جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی

		III
	VII	هشتم
	سیزدهم	هجدهم	نوزدهم	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

نقطه ضعف سیستم رومی عدم وجود قوانین رسمی برای نوشتن اعداد و بر این اساس، عملیات حسابی با اعداد چند رقمی است. به دلیل ناراحتی و پیچیدگی زیاد، سیستم شماره رومی در حال حاضر در جایی که واقعا راحت است استفاده می شود: در ادبیات (شماره بندی فصل)، در طراحی اسناد (یک سری پاسپورت، اوراق بهادار، و غیره)، برای اهداف تزئینی در یک ساعت شماره گیری و در تعدادی از موارد دیگر.

سیستم اعداد اعشاری در حال حاضر شناخته شده ترین و مورد استفاده ترین است. اختراع سیستم اعداد اعشاری یکی از دستاوردهای اصلی اندیشه بشر است. بدون آن، فن آوری مدرن به سختی می تواند وجود داشته باشد، بسیار کمتر. دلیل اینکه سیستم اعداد اعشاری به طور کلی پذیرفته شد، اصلاً ریاضی نیست. مردم به شمارش در سیستم اعداد اعشاری عادت دارند زیرا 10 انگشت روی دستان خود دارند.

تصویر باستانی ارقام اعشاری (شکل 1) تصادفی نیست: هر رقم یک عدد را با تعداد زاویه های موجود در آن نشان می دهد. به عنوان مثال، 0 - بدون گوشه، 1 - یک گوشه، 2 - دو گوشه، و غیره. نوشتن اعداد اعشاری دستخوش تغییرات قابل توجهی شده است. شکلی که ما استفاده می کنیم در قرن شانزدهم ایجاد شد.

سیستم اعشاری اولین بار در قرن ششم در هند ظاهر شد دوران جدید. شماره گذاری هندی از نه کاراکتر عددی و یک صفر برای نشان دادن یک موقعیت خالی استفاده می کند. در دست نوشته های اولیه هندی که به دست ما رسیده است، اعداد به ترتیب معکوس نوشته می شدند - بیشتر رقم قابل توجهیسمت راست قرار گرفت اما خیلی زود قرار دادن چنین عددی در سمت چپ به یک قانون تبدیل شد. اهمیت ویژه ای به نماد صفر که برای سیستم نشانه گذاری موقعیتی معرفی شد، داده شد. شماره گذاری هندی، از جمله صفر، تا به امروز باقی مانده است. در اروپا، روش‌های هندویی حساب اعشاری در آغاز قرن سیزدهم رایج شد. به لطف کار ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا (فیبوناچی). اروپایی ها سیستم اعداد هندی را از اعراب قرض گرفتند و آن را عربی نامیدند. این اشتباه تاریخی تا امروز ادامه دارد.

سیستم اعشاری از ده رقم 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 و همچنین از نمادهای "+" و "-" برای نشان دادن علامت یک عدد استفاده می کند. کاما یا نقطه برای جدا کردن اعداد صحیح و اعشاری.

کامپیوترها از یک سیستم اعداد باینری استفاده می کنند، پایه آن عدد 2 است. برای نوشتن اعداد در این سیستم، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. برخلاف تصور غلط رایج، سیستم اعداد باینری توسط مهندسان طراحی کامپیوتر اختراع نشده است، بلکه توسط ریاضیدانان و فیلسوفان مدت ها قبل از ظهور رایانه ها، در قرن 17 تا 19. اولین بحث منتشر شده در مورد سیستم اعداد باینری توسط کشیش اسپانیایی خوان کاراموئل لوبکوویتز (1670) است. توجه کلی به این سیستم توسط مقاله ای توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس که در سال 1703 منتشر شد به خود جلب کرد. این سیستم عملیات دودویی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را توضیح داد. لایب نیتس استفاده از این سیستم را برای محاسبات عملی توصیه نکرد، اما بر اهمیت آن برای تحقیقات نظری تاکید کرد. با گذشت زمان، سیستم اعداد باینری به خوبی شناخته شده و توسعه می یابد.

انتخاب یک سیستم باینری برای استفاده در فناوری کامپیوتر با این واقعیت توضیح داده می شود که عناصر الکترونیکی - محرک هایی که تراشه های کامپیوتری را تشکیل می دهند - فقط می توانند در دو حالت عملیاتی باشند.

با استفاده از سیستم کدگذاری باینری، می توانید هر داده و دانشی را ضبط کنید. اگر اصل رمزگذاری و انتقال اطلاعات با استفاده از کد مورس را به خاطر بیاوریم، به راحتی قابل درک است. اپراتور تلگراف، با استفاده از تنها دو علامت از این الفبا - نقطه و خط تیره، می تواند تقریبا هر متنی را منتقل کند.

سیستم باینری برای رایانه مناسب است، اما برای یک فرد ناخوشایند است: نوشتن و به خاطر سپردن اعداد طولانی و دشوار است. البته، می توانید عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنید و به این شکل بنویسید، و سپس، زمانی که باید آن را برگردانید، اما همه این ترجمه ها کار فشرده هستند. بنابراین، سیستم های اعداد مربوط به باینری استفاده می شود - اکتال و هگزادسیمال. برای نوشتن اعداد در این سیستم ها به ترتیب 8 و 16 رقم لازم است. در هگزادسیمال، 10 رقم اول رایج است و سپس از حروف بزرگ لاتین استفاده می شود. رقم هگزادسیمال A مربوط به عدد اعشاری 10، هگزادسیمال B به عدد اعشاری 11 و غیره است. در زیر جدول تناظر بین اعداد نوشته شده در سیستم های مختلف آورده شده است.

جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف

اعشاری	باینری	هشتی	هگزادسیمال
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. بیایید قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیریم.

1. برای تبدیل یک عدد دودویی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر 2 نوشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 4. قدرت های شماره 2

n (درجه)
											1024

مثال. عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 نوشت و طبق قوانین محاسبه کرد. از محاسبات اعشاری:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول توان های هشت راحت است:

جدول 5. قدرت های عدد 8

n (درجه)

هدف از خدمات. این سرویس برای تبدیل اعداد از یک سیستم شماره به سیستم دیگر به صورت آنلاین طراحی شده است. برای انجام این کار، پایه سیستمی را که می خواهید شماره را از آن تبدیل کنید، انتخاب کنید. می توانید هم اعداد صحیح و هم اعداد را با کاما وارد کنید.

شما می توانید هم اعداد کامل، برای مثال 34 و هم اعداد کسری، به عنوان مثال، 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.

موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:

راه های نمایش اعداد

باینری اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.
هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک نماد 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. این نمایش را می توان به روش های مختلف تعیین کرد رقم به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را به عنوان 0xA5 یا 0A5h تعیین کرد. یک صفر ابتدایی (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، کلمه دوگانه) با یک عدد معمولی نشان داده می شود و علامت نمایش دهدهی (حرف "d") معمولا حذف می شود. بایت در مثال های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نماد دودویی و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین مقدار هر بیت از نظر ذهنی دشوار است، که گاهی اوقات ضروری است.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (تقسیم از کمترین معنی شروع می شود) به صورت یک عدد 0-7 نوشته می شود که در پایان یک "o" وجود دارد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال ناخوشایند است زیرا بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

تبدیل اعداد اعشاری کامل به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به عنوان باقیمانده تقسیم نوشته می شود و از آخرین عدد شروع می شود.
تبدیل یک کسر اعشاری منظم به PSS دیگر با ضرب کردن بخش کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که تمام صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که دقت ترجمه مشخص شده به دست آید. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از یک عدد جدید تشکیل می شود که با بالاترین عدد شروع می شود.
ترجمه کسرهای نامناسب طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.

مثال شماره 1.



تبدیل سیستم اعداد 2 به 8 به 16.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین ترجمه با استفاده از یک جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به سیستم اعداد هشت‌گانه (هگزادسیمال)، لازم است عدد باینری را از نقطه اعشار به سمت راست و چپ به گروه‌های سه رقمی (چهار رقم برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های بیرونی را تکمیل کنیم. در صورت لزوم با صفر هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.

مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

هنگام تبدیل به سیستم هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین مشابه، عدد را به قسمت های چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010،1011 = 2B12،13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه شده است) به توان مربوط به شماره سریال آن در عدد در حال تبدیل در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول 0 شماره گذاری شده است) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با کاهش) شماره گذاری می شوند. علامت منفی). نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.

مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد اعشاری به اعشاری.

108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری.

1. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
   • یک بار دیگر الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم
   • از سیستم اعداد اعشاری:
   • عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
2. هنگام تقسیم یک عدد صحیح از یک عدد باقیمانده را پیدا کنید.
   • تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
   • از سیستم اعداد باینری
     برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، لازم است مجموع حاصل از پایه 2 را با درجه مربوطه از رقم پیدا کنید.
   • برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
     به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8

برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16
این سیستم موقعیتی نامیده می شود

باینری SS	هگزادسیمال SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	الف
1011	ب
1100	سی
1101	D
1110	E
1111	اف

جدول برای تبدیل به سیستم اعداد اکتالی

مثال شماره 2. عدد 100.12 را از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی و بالعکس تبدیل کنید. دلایل عدم تطابق را توضیح دهید.
راه حل.
مرحله 1 .

باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس می نویسیم. عدد را در سیستم اعداد هشتم بدست می آوریم: 144
100 = 144 8

برای تبدیل جزء کسری یک عدد، جزء کسری را به ترتیب در پایه 8 ضرب می کنیم. در نتیجه، هر بار کل قسمت حاصل را یادداشت می کنیم.
0.12 * 8 = 0.96 (قسمت صحیح 0 )
0.96 * 8 = 7.68 (قسمت صحیح 7 )
0.68 * 8 = 5.44 (قسمت صحیح 5 )
0.44 * 8 = 3.52 (قسمت صحیح 3 )
شماره را در سیستم شماره هشتم دریافت می کنیم: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

مرحله 2. تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی.
تبدیل معکوس از سیستم اعداد اکتالی به اعشاری.

برای ترجمه یک قسمت صحیح، باید رقم یک عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

برای تبدیل قسمت کسری، باید رقم عدد را بر درجه مربوط به رقم تقسیم کنید.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
تفاوت 0.0001 (100.12 - 100.1199) با خطاهای گرد کردن هنگام تبدیل به سیستم اعداد اکتالی توضیح داده می شود. اگر تعداد ارقام بیشتری بگیرید (مثلاً نه 4، بلکه 8) این خطا را می توان کاهش داد.

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. طول اعداد نباید بیشتر از 30 کاراکتر باشد. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.

شماره اصلی نوشته شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم شماره ای را در آن نوشته شود 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

ورود دریافت کنید

ترجمه ها تکمیل شده: 3722471

همچنین ممکن است علاقه مند باشید:

• ماشین حساب جدول حقیقت SDNF. SKNF. چند جمله ای ژگالکین

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، اما سیستم رومی نیز وجود دارد - این سیستم موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به برخی از اعداد به عنوان مثال، درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. بیایید عدد را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

بیشتر به روشی سادهتبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر به این صورت است که ابتدا عدد را به یک سیستم اعداد اعشاری تبدیل می‌کنیم و سپس نتیجه را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل می‌کنیم.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. عدد 1001101.1101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. عدد E8F.2D 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه تبدیل شوند.

تبدیل یک عدد صحیح از یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر

یک قسمت صحیح از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر با تقسیم متوالی قسمت صحیح یک عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه ترجمه یک رکورد باقیمانده خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.

3. عدد 273 10 را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1. 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2. 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد موجود در ترازها به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

ترجمه کسرهای اعشاری مناسب را در نظر بگیرید سیستم های مختلفحساب کردن.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به صورت متوالی در N ضرب کنید تا قسمت کسری به صفر برسد یا تعداد ارقام لازم به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. عدد 0.125 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
راه حل: 0.125·2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25·2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5·2 = 1.0 (1 رقم سوم است. از نتیجه، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2