قبل از شروع حل مسائل، باید چند نکته ساده را درک کنیم.

عدد اعشاری 875 را در نظر بگیرید. آخرین رقم عدد (5) باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 10 است. دو رقم آخر عدد 75 را تشکیل می دهند - این باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 100 است. عبارات مشابه هستند. برای هر سیستم عددی درست است:

آخرین رقم یک عدد باقیمانده هنگام تقسیم این عدد بر پایه سیستم اعداد است.

دو رقم آخر یک عدد با تقسیم عدد بر پایه مجذور باقی مانده است.

به عنوان مثال، . 23 را بر پایه سیستم 3 تقسیم کنید، 7 و 2 را به عنوان باقیمانده بدست می آوریم (2 برابر است آخرین رقماعداد در سیستم سه تایی). 23 را بر 9 تقسیم کنید (مبنا به مجذور)، 18 و 5 را به عنوان باقیمانده بدست می آوریم (5 = ).

بیایید دوباره به سیستم اعشاری معمول برگردیم. عدد = 100000. یعنی 10 به توان k یک و k صفر است.

یک عبارت مشابه برای هر سیستم عددی صادق است:

پایه سیستم اعداد به توان k در این سیستم اعداد به صورت یک و k صفر نوشته می شود.

به عنوان مثال، .

1. یافتن پایه سیستم اعداد

مثال 1.

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 27 به صورت 30 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

اجازه دهید پایه مورد نظر را x نشان دهیم. سپس .i.e. x = 9.

مثال 2.

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 13 به صورت 111 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

اجازه دهید پایه مورد نظر را x نشان دهیم. سپس

معادله درجه دوم را حل می کنیم، ریشه های 3 و -4 را بدست می آوریم. از آنجایی که پایه سیستم اعداد نمی تواند منفی باشد، پاسخ 3 است.

جواب: 3

مثال 3

جدا شده با کاما، به ترتیب صعودی، تمام پایه های سیستم های اعداد را نشان می دهد که در آنها عدد 29 به 5 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم ها عدد 29 به 5 ختم شود، آنگاه عدد کاهش یافته به 5 (29-5 = 24) به 0 ختم می شود. قبلاً گفتیم که یک عدد در حالتی که بر پایه سیستم بخش پذیر باشد به 0 ختم می شود. بدون باقیمانده آن ها ما باید تمام اعدادی را که مقسوم‌کننده‌های عدد 24 هستند، پیدا کنیم. 5 (و در مسئله فرمول بندی، عدد 29 به 5 ختم می شود)، یعنی سیستم های دارای پایه باقی می مانند: 6، 8، 12،

پاسخ: 6، 8، 12، 24

مثال 4

جدا شده با کاما، به ترتیب صعودی، تمام پایه های سیستم های اعداد را نشان می دهد که در آنها عدد 71 به 13 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم ها یک عدد به 13 ختم شود، پایه این سیستم کمتر از 4 نیست (در غیر این صورت عدد 3 در آنجا وجود ندارد).

عددی که 3 کاهش یابد (71-3=68) به 10 ختم می شود. یعنی. 68 به طور کامل بر پایه مورد نظر سیستم تقسیم می شود و ضریب آن با تقسیم بر پایه سیستم باقیمانده 0 را به دست می دهد.

بیایید تمام مقسوم علیه های عدد 68 را بنویسیم: 2، 4، 17، 34، 68.

2 مناسب نیست، زیرا پایه کمتر از 4 نیست. بیایید مقسوم علیه های باقی مانده را بررسی کنیم:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (استراحت 1) - مناسب

68:17 = 4; 4:17 = 0 (استراحت 4) - مناسب نیست

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) - مناسب نیست

68:68 = 1; 1:68 = 0 (استراحت 1) - مناسب

جواب: 4.68

2. جستجو برای اعداد بر اساس شرایط

مثال 5

تمام اعداد اعشاری بیش از 25 را که علامت آنها در سیستم چهار عددی پایه به 11 ختم می شود، با کاما به ترتیب صعودی از هم جدا کنید؟

راه حل:

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 25 در سیستم اعداد پایه 4 چگونه به نظر می رسد.

آن ها ما باید همه اعداد را پیدا کنیم، نه بزرگتر از، که به 11 ختم می شوند. طبق قانون شمارش متوالی در سیستم پایه 4،
اعداد و . ما آنها را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل می کنیم:

پاسخ: 5، 21

3. حل معادلات

مثال 6

معادله را حل کنید:

پاسخ خود را در سیستم سه تایی بنویسید (نیازی به نوشتن پایه سیستم اعداد در پاسخ شما نیست).

راه حل:

بیایید همه اعداد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم:

معادله درجه دوم ریشه های 8- و 6 دارد (زیرا پایه سیستم نمی تواند منفی باشد). .

جواب: 20

4. شمارش تعداد یک ها (صفر) در نماد دودویی مقدار یک عبارت

برای حل این نوع مسائل، باید به یاد داشته باشیم که جمع و تفریق ستونی چگونه کار می کند:

هنگام جمع کردن، یک جمع بیتی از ارقام نوشته شده در زیر یکدیگر رخ می دهد، که با کمترین رقم شروع می شود. اگر مجموع دو رقم حاصل از پایه سیستم اعداد بزرگتر یا مساوی باشد، باقیمانده حاصل از تقسیم این مجموع بر مبنای سیستم اعداد زیر ارقام جمع شده نوشته می شود و قسمت صحیح تقسیم این مجموع بر پایه سیستم به مجموع ارقام زیر اضافه می شود.

هنگام تفریق، ارقامی که زیر یکدیگر نوشته شده اند، به صورت بیتی کم می شوند و با کمترین رقم شروع می شوند. اگر رقم اول کمتر از رقم دوم باشد، یکی را از رقم مجاور (بزرگتر) "قرض می گیریم". واحد اشغال شده در رقم فعلی برابر است با پایه سیستم اعداد. در اعشار 10، در باینری 2، در سه تایی 3 و غیره است.

مثال 7

چند واحد در نماد دودویی مقدار عبارت وجود دارد:؟

راه حل:

بیایید تمام اعداد در عبارت را به عنوان توان دو تصور کنیم:

در نمادگذاری دودویی، 2 به توان n به نظر می رسد 1 به دنبال n صفر است. سپس با جمع کردن و عددی حاوی 2 واحد به دست می آید:

حالا 10000 را از عدد بدست آمده کم می کنیم، طبق قوانین تفریق، از رقم بعدی وام می گیریم.

حالا 1 را به عدد حاصل اضافه کنید:

می بینیم که نتیجه 2013+1+1=2015 واحد است.

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. طول اعداد نباید بیشتر از 30 کاراکتر باشد. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.

شماره اصلی نوشته شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم شماره ای را در آن نوشته شود 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

ورود دریافت کنید

ترجمه های تکمیل شده: 3722471

همچنین ممکن است علاقه مند باشید:

• ماشین حساب جدول حقیقت SDNF. SKNF. چند جمله ای ژگالکین

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، اما سیستم رومی نیز وجود دارد - این سیستم موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به برخی از اعداد به عنوان مثال، درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. بیایید با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

بیشتر به روشی سادهتبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر به این صورت است که ابتدا عدد را به یک سیستم اعداد اعشاری تبدیل می‌کنیم و سپس نتیجه را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل می‌کنیم.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. عدد 1001101.1101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. عدد E8F.2D 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه تبدیل شوند.

تبدیل یک عدد صحیح از یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر

یک قسمت صحیح از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر با تقسیم متوالی قسمت صحیح یک عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه ترجمه یک رکورد باقیمانده خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.

3. عدد 273 10 را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1. 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2. 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد موجود در ترازها به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

بیایید ترجمه کسرهای اعشاری منظم را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به صورت متوالی در N ضرب کنید تا قسمت کسری به صفر برسد یا تعداد ارقام لازم به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. عدد 0.125 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
راه حل: 0.125·2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25·2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5·2 = 1.0 (1 رقم سوم است. از نتیجه، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2

مسائل مربوط به موضوع "سیستم های عددی"

نمونه هایی از راه حل ها

وظیفه شماره 1. چند تا ارقام قابل توجهدر نماد اعشاری 357 در سیستم اعداد پایه 3؟راه حل:بیایید عدد 35710 را به سیستم اعداد سه تایی تبدیل کنیم:بنابراین، 35710 = 1110203. عدد 1110203 شامل 6 رقم قابل توجه است.پاسخ: 6.

وظیفه شماره 2. با توجه به A=A715، B=2518. کدام یک از اعداد C که در سیستم باینری نوشته شده است، شرط A را دارد1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 راه حل:بیایید اعداد A=A715 و B=2518 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم، هر رقم از عدد اول را با تتراد مربوطه، و هر رقم از عدد دوم را با سه گانه مربوطه جایگزین کنیم: A715= 1010 01112; 2518 = 0012 101 010.شرط الف

وظیفه شماره 3. چه رقمی در سیستم اعداد پایه 6 به عدد اعشاری 123 ختم می شود؟راه حل:بیایید عدد 12310 را به سیستم اعداد پایه 6 تبدیل کنیم:12310 = 3236. پاسخ: عدد 12310 در سیستم اعداد پایه 6 به عدد 3 ختم می شود.وظایف برای انجام عملیات حسابی بر روی اعداد نشان داده شده در سیستم های اعداد مختلف

وظیفه شماره 4. مجموع اعداد X و Y را در صورت X=1101112، Y=1358 محاسبه کنید. نتیجه را به صورت باینری ارائه دهید.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 راه حل:بیایید عدد Y=1358 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم و هر یک از ارقام آن را با سه گانه مربوطه جایگزین کنیم: 001 011 1012. جمع را انجام می دهیم:جواب: 100101002 (گزینه 2).

وظیفه شماره 5. میانگین حسابی اعداد 2368، 6С16 و 1110102 را بیابید پاسخ را در سیستم اعداد اعشاری ارائه دهید.راه حل:بیایید اعداد 2368، 6С16 و 1110102 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم:
بیایید میانگین حسابی اعداد را محاسبه کنیم: (158+108+58)/3 = 10810.پاسخ: میانگین حسابی اعداد 2368، 6C16 و 1110102 برابر با 10810 است.

وظیفه شماره 6. مقدار عبارت 2068 + AF16 را محاسبه کنید؟ 110010102. انجام محاسبات در سیستم اعداد هشتی. پاسخ خود را به سیستم اعشاری تبدیل کنید.راه حل:بیایید همه اعداد را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنیم:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128بیایید اعداد را اضافه کنیم:بیایید جواب را به سیستم اعشاری تبدیل کنیم:جواب: 51110.

وظایف پیدا کردن پایه یک سیستم اعداد

وظیفه شماره 7. در باغ 100 كيف درخت ميوه وجود دارد: 33 كيلوگرم درخت سيب، 22 كيلوگرم گلابي، 16 كيلوگرم آلو و 17 كيوان گيلاس است. پایه سیستم اعدادی که درختان در آن شمارش می شوند را بیابید.راه حل:در مجموع 100q درخت در باغ وجود دارد: 100q = 33q+22q+16q+17q.بیایید ارقام را شماره گذاری کنیم و این اعداد را به صورت باز شده ارائه کنیم:
پاسخ: درختان در سیستم عددی پایه 9 شمارش می شوند.

وظیفه شماره 8. اگر می دانید که 2002x = 13010، پایه x سیستم اعداد را پیدا کنید.راه حل:جواب: 4.

وظیفه شماره 9. در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 18 به صورت 30 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.راه حل:بیایید x را پایه سیستم اعداد مجهول در نظر بگیریم و تساوی زیر را ایجاد کنیم:1810 = 30x;بیایید ارقام را شماره گذاری کنیم و این اعداد را به صورت باز شده بنویسیم:پاسخ: عدد اعشاری 18 در سیستم اعداد پایه 6 به صورت 30 نوشته می شود.

در دوره های علوم کامپیوتر، صرف نظر از مدرسه یا دانشگاه، جایگاه ویژه ای به مفهومی مانند سیستم های عددی داده می شود. به عنوان یک قاعده، چندین درس یا تمرین عملی به آن اختصاص داده می شود. هدف اصلی نه تنها تسلط بر مفاهیم اساسی مبحث، مطالعه انواع سیستم های اعداد، بلکه آشنایی با محاسبات باینری، اکتال و هگزا دسیمال است.

به چه معناست؟

بیایید با تعریف مفهوم اصلی شروع کنیم. همانطور که در کتاب درسی "انفورماتیک" اشاره شده است، یک سیستم اعداد رکوردی از اعداد است که از یک الفبای خاص یا مجموعه ای خاص از اعداد استفاده می کند.

بسته به اینکه مقدار یک رقم بسته به موقعیت آن در عدد تغییر می کند یا خیر، دو سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد.

در سیستم های موقعیتی، معنای یک رقم با موقعیت آن در عدد تغییر می کند. بنابراین، اگر عدد 234 را بگیریم، عدد 4 در آن به معنای واحد است، اما اگر عدد 243 را در نظر بگیریم، از قبل به معنای ده ها خواهد بود، نه واحد.

در سیستم های غیر موقعیتی، معنای یک رقم بدون توجه به موقعیت آن در عدد، ثابت است. بارزترین مثال سیستم چوب است که هر واحد با یک خط تیره نشان داده می شود. مهم نیست چوب را در کجا قرار می دهید، ارزش عدد فقط یک تغییر می کند.

سیستم های غیر موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی عبارتند از:

1. سیستم واحدی که جزو اولین ها محسوب می شود. به جای اعداد از چوب استفاده می کرد. هر چه تعداد آنها بیشتر باشد، ارزش عدد بیشتر می شود. نمونه اعدادی که به این شکل نوشته شده اند را می توانید در فیلم هایی پیدا کنید که در آن ما در مورددرباره افرادی که در دریا گم شده اند، زندانیانی که هر روز را با بریدگی هایی روی یک سنگ یا درخت علامت گذاری می کنند.
2. رومی که در آن به جای اعداد از حروف لاتین استفاده شده است. با استفاده از آنها می توانید هر عددی را بنویسید. علاوه بر این، مقدار آن با استفاده از مجموع و تفاضل ارقام تشکیل دهنده عدد تعیین شد. اگر عدد کوچکتری در سمت چپ رقم وجود داشت، رقم چپ از سمت راست کم می شد و اگر رقم سمت راست کمتر یا مساوی با رقم سمت چپ بود، مقادیر آنها جمع می شد. به عنوان مثال، عدد 11 به صورت XI و 9 - IX نوشته شده است.
3. الفبایی، که در آن اعداد با استفاده از الفبای یک زبان خاص تعیین می شوند. یکی از آنها سیستم اسلاوی در نظر گرفته می شود که در آن تعدادی از حروف نه تنها آوایی، بلکه همچنین مقدار عددی.
4. که در آن فقط از دو نماد برای نوشتن استفاده شده است - گوه و فلش.
5. مصر همچنین از نمادهای خاصی برای نشان دادن اعداد استفاده می کرد. هنگام نوشتن یک عدد، هر نماد را نمی توان بیش از 9 بار استفاده کرد.

سیستم های موقعیت

توجه زیادی در علوم کامپیوتر به سیستم های اعداد موقعیتی می شود. این موارد شامل موارد زیر است:

• باینری
• هشتی؛
• اعشاری؛
• هگزادسیمال;
• sexagesimal، برای شمارش زمان استفاده می شود (مثلاً 60 ثانیه در دقیقه، 60 دقیقه در ساعت).

هر کدام از آنها الفبای خاص خود را برای نوشتن، قوانین ترجمه و انجام عملیات حسابی دارند.

سیستم اعشاری

این سیستم برای ما آشناترین است. برای نوشتن اعداد از اعداد 0 تا 9 استفاده می کند. به آنها عربی نیز می گویند. بسته به موقعیت رقم در عدد، می تواند ارقام مختلفی را نشان دهد - واحدها، ده ها، صدها، هزاران یا میلیون ها. ما در همه جا از آن استفاده می کنیم، قوانین اساسی را می دانیم که توسط آنها عملیات حسابی روی اعداد انجام می شود.

سیستم باینری

یکی از سیستم های اعداد اصلی در علوم کامپیوتر دودویی است. سادگی آن به رایانه اجازه می دهد تا محاسبات دست و پا گیر را چندین برابر سریعتر از سیستم اعشاری انجام دهد.

برای نوشتن اعداد، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. علاوه بر این، بسته به موقعیت 0 یا 1 در عدد، مقدار آن تغییر می کند.

در ابتدا با کمک کامپیوترها بود که تمام اطلاعات لازم را دریافت کردند. در این مورد، یک به معنای وجود سیگنالی است که با استفاده از ولتاژ ارسال می شود، و صفر به معنای عدم وجود آن است.

سیستم اکتال

یکی دیگر از سیستم‌های اعداد رایانه‌ای معروف، که از اعداد ۰ تا ۷ استفاده می‌کند. این سیستم عمدتاً در حوزه‌هایی از دانش که با دستگاه‌های دیجیتال مرتبط هستند استفاده می‌شود. اما اخیراً بسیار کمتر مورد استفاده قرار گرفته است، زیرا با سیستم اعداد هگزادسیمال جایگزین شده است.

سیستم اعشاری دودویی

نمایش اعداد بزرگ به صورت دودویی یک فرآیند نسبتاً پیچیده برای انسان است. برای ساده سازی آن، معمولاً در ساعت های الکترونیکی و ماشین حساب ها استفاده می شود. در این سیستم، کل عدد از سیستم اعشاری به باینری تبدیل نمی شود، بلکه هر رقم به مجموعه صفر و یک مربوط به خود در سیستم باینری تبدیل می شود. تبدیل از باینری به اعشاری به روشی مشابه انجام می شود. هر رقمی که به صورت مجموعه ای چهار رقمی از صفر و یک نمایش داده می شود، به یک رقم سیستم اعشاری تبدیل می شود. در اصل، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

برای کار با اعداد در این مورد، جدولی از سیستم های اعداد مفید خواهد بود که مطابقت بین اعداد و کد باینری آنها را نشان می دهد.

سیستم هگزادسیمال

اخیراً سیستم اعداد هگزادسیمال به طور فزاینده ای در برنامه نویسی و علوم کامپیوتر محبوب شده است. این نه تنها از اعداد 0 تا 9، بلکه از تعدادی حروف لاتین - A، B، C، D، E، F استفاده می کند.

در عین حال، هر یک از حروف معنای خاص خود را دارد، بنابراین A=10، B=11، C=12 و غیره. هر عدد به صورت مجموعه ای از چهار کاراکتر نمایش داده می شود: 001F.

تبدیل اعداد: از اعشار به دودویی

ترجمه در سیستم های اعداد طبق قوانین خاصی انجام می شود. رایج ترین تبدیل از سیستم باینری به اعشاری و بالعکس است.

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعشاری به سیستم باینری، باید آن را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد، یعنی عدد دو، تقسیم کرد. در این صورت، باقیمانده هر تقسیم باید ثبت شود. این اتفاق می افتد تا زمانی که باقی مانده تقسیم کمتر یا مساوی یک باشد. بهتر است محاسبات را در یک ستون انجام دهید. باقیمانده تقسیم حاصل به ترتیب معکوس روی خط نوشته می شود.

به عنوان مثال، بیایید عدد 9 را به باینری تبدیل کنیم:

ما 9 را تقسیم می کنیم ، زیرا عدد بر یک کل بخش پذیر نیست ، سپس عدد 8 را می گیریم ، باقیمانده 9 خواهد بود - 1 = 1.

پس از تقسیم 8 بر 2، 4 به دست می آید. دوباره آن را تقسیم کنید، زیرا عدد بر یک عدد صحیح بخش پذیر است - باقیمانده 4 - 4 = 0 به دست می آید.

ما همان عملیات را با 2 انجام می دهیم. باقیمانده 0 است.

در نتیجه تقسیم 1 می گیریم.

صرف نظر از سیستم اعداد نهایی، تبدیل اعداد از اعشار به هر دیگری بر اساس اصل تقسیم عدد بر پایه سیستم موقعیتی اتفاق می افتد.

تبدیل اعداد: از باینری به اعشاری

تبدیل اعداد به سیستم اعداد اعشاری از باینری بسیار آسان است. برای انجام این کار کافی است قوانین افزایش اعداد به توان را بدانید. در این صورت به توان دو.

الگوریتم ترجمه به شرح زیر است: هر رقم از کد یک عدد باینری باید در دو ضرب شود، و دو عدد اول به توان m-1، دومی - m-2 و غیره، که در آن m برابر است. تعداد ارقام در کد سپس نتایج جمع را اضافه کنید تا یک عدد صحیح بدست آورید.

برای دانش آموزان مدرسه، این الگوریتم را می توان ساده تر توضیح داد:

برای شروع هر رقم ضرب شده در دو را می گیریم و یادداشت می کنیم، سپس توان دو را از انتها و از صفر شروع می کنیم. سپس عدد حاصل را جمع می کنیم.

به عنوان مثال، عدد 1001 را که قبلاً به دست آمده، تجزیه و تحلیل می کنیم، آن را به سیستم اعشاری تبدیل می کنیم و در عین حال صحت محاسبات خود را بررسی می کنیم.

به این صورت خواهد بود:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

هنگام مطالعه این موضوع، استفاده از جدولی با توان دو راحت است. این به میزان قابل توجهی زمان مورد نیاز برای انجام محاسبات را کاهش می دهد.

سایر گزینه های ترجمه

در برخی موارد، ترجمه را می توان بین سیستم های اعداد باینری و اکتالی، باینری و هگزادسیمال انجام داد. در این صورت می‌توانید از جداول ویژه استفاده کنید یا با انتخاب گزینه «برنامه‌نویس» در تب View یک برنامه ماشین حساب را روی رایانه خود راه‌اندازی کنید.

عملیات حسابی

صرف نظر از شکلی که عدد ارائه شده است، می توان از آن برای انجام محاسباتی که برای ما آشنا هستند استفاده کرد. این می تواند تقسیم و ضرب، تفریق و جمع در سیستم اعدادی که انتخاب کرده اید باشد. البته هر کدام از آنها قوانین خاص خود را دارند.

بنابراین برای سیستم باینری، جداول خود را برای هر یک از عملیات توسعه داده است. از همین جداول در سایر سیستم های موقعیتی استفاده می شود.

نیازی به حفظ کردن آنها نیست - فقط آنها را چاپ کنید و در دسترس داشته باشید. همچنین می توانید از ماشین حساب در رایانه شخصی خود استفاده کنید.

یکی از موضوعات مهم در علوم کامپیوتر، سیستم اعداد است. دانستن این موضوع، درک الگوریتم های تبدیل اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر، کلید این واقعیت است که شما قادر خواهید بود موضوعات پیچیده تری مانند الگوریتم سازی و برنامه نویسی را درک کنید و بتوانید اولین برنامه خود را خودتان بنویسید.

تبدیل به سیستم اعداد اعشاری

وظیفه 1. 24 16 در سیستم اعشاری با چه عددی مطابقت دارد؟

راه حل.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

پاسخ دهید. 24 16 = 36 10

وظیفه 2.مشخص است که X = 12 4 + 4 5 + 101 2. مقدار X در سیستم اعداد اعشاری چقدر است؟

راه حل.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
عدد را پیدا کنید: X = 6 + 4 + 5 = 15

پاسخ دهید. X = 15 10

وظیفه 3.مقدار مجموع 10 2 + 45 8 + 10 16 را به صورت اعشاری محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید هر جمله را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
مجموع: 2 + 37 + 16 = 55

تبدیل به سیستم اعداد باینری

وظیفه 1.عدد 37 در باینری چیست؟

راه حل.

شما می توانید با تقسیم بر 2 و ترکیب باقی مانده به ترتیب معکوس تبدیل کنید.

روش دیگر این است که عدد را به مجموع توان های دو تجزیه کنید، که از بالاترین شروع می شود، نتیجه محاسبه شده آن کمتر از عدد داده شده است.

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

پاسخ دهید. 37 10 = 100101 2 .

وظیفه 2.هنگام تبدیل، توان های از دست رفته یک عدد باید با صفر جایگزین شوند:

راه حل.

در نماد دودویی عدد اعشاری 73 چند صفر قابل توجه وجود دارد؟

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

پاسخ دهید.اجازه دهید عدد 73 را به مجموع توان های دو تجزیه کنیم، با بالاترین شروع کنیم و سپس توان های از دست رفته را در صفر و توان های موجود را در یک ضرب کنیم:

وظیفه 3.نمایش دودویی عدد اعشاری 73 دارای چهار صفر قابل توجه است.

راه حل.

مجموع اعداد x و y را برای x = D2 16، y = 37 8 محاسبه کنید. نتیجه را در سیستم اعداد باینری ارائه دهید.

به یاد بیاورید که هر رقم از یک عدد هگزادسیمال از چهار رقم باینری تشکیل شده است، هر رقم از یک عدد اکتالی با سه رقم:
37 8 = 011 111

D2 16 = 1101 0010

11010010 11111 -------- 11110001

پاسخ دهید.بیایید اعداد حاصل را جمع کنیم:

مجموع اعداد D2 16 و y = 37 8 که در سیستم اعداد باینری نشان داده شده اند 11110001 است.وظیفه 4. داده شده:الف = D7 16،ب = 331 8. کدوم عددج ، که در سیستم اعداد باینری نوشته شده است، شرط را برآورده می کند< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

راه حل.

الف

بیایید اعداد را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم:
331 8 = 11011001

D7 16 = 11010111

چهار رقم اول همه اعداد یکسان است (1101). بنابراین، مقایسه برای مقایسه چهار رقم پایین ساده شده است. = D7 16،اولین عدد از لیست برابر با عدد است

بنابراین مناسب نیست. = D7 16،عدد دوم بزرگتر از داده شده:.

. عدد سوم است< 1000 < 1001.

پاسخ دهید.فقط شماره چهارم مناسب است: 0111 ، که در سیستم اعداد باینری نوشته شده است، شرط را برآورده می کند< c < b .

گزینه چهارم (11011000) شرط را دارد

وظیفه 1.برای رمزگذاری کاراکترهای @، $، و، %، از اعداد باینری متوالی دو رقمی استفاده می شود. اولین کاراکتر مربوط به عدد 00 است. با استفاده از این کاراکترها، دنباله زیر کدگذاری شد: $%&&@$. این دنباله را رمزگشایی کنید و نتیجه را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل.

1. بیایید اعداد باینری را با کاراکترهایی که کدگذاری می کنند مقایسه کنیم:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. عدد باینری را به سیستم هگزادسیمالنشانه گذاری:
0111 1010 0001 = 7A1

پاسخ دهید. 7A1 16.

وظیفه 2. 100 درخت میوه در باغ وجود دارد که از این تعداد 33 درخت سیب، 22 درخت گلابی، 16 درخت آلو، 17 درخت گیلاس است. پایه سیستم اعداد (x) چیست؟

راه حل.

1. توجه داشته باشید که همه عبارت ها اعداد دو رقمی هستند. در هر سیستم عددی می توان آنها را به صورت زیر نشان داد:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b که a و b ارقام ارقام مربوط به عدد هستند.
برای یک عدد سه رقمی به این صورت است:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. شرط مشکل این است:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
بیایید اعداد را در فرمول ها جایگزین کنیم:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3- معادله درجه دوم را حل کنید:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. ریشه مربعاز D 11 است.
ریشه های یک معادله درجه دوم:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 یا x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. عدد منفینمی تواند مبنای یک سیستم اعداد باشد. بنابراین x فقط می تواند برابر با 9 باشد.

پاسخ دهید.پایه مورد نیاز سیستم اعداد 9 است.

وظیفه 3.در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 12 به صورت 110 نوشته می شود. این پایه را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا عدد 110 را از طریق فرمول نوشتن اعداد در سیستم اعداد موقعیتی برای یافتن مقدار در سیستم اعداد اعشاری می نویسیم و سپس با نیروی بی رحم پایه را پیدا می کنیم.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

باید 12 را بدست آوریم. بیایید 2: 2 2 + 2 = 6 را امتحان کنیم. 3: 3 2 + 3 = 12 را امتحان کنید.

این بدان معنی است که پایه سیستم اعداد 3 است.

پاسخ دهید.پایه مورد نیاز سیستم اعداد 3 است.

مجموع اعداد D2 16 و y = 37 8 که در سیستم اعداد باینری نشان داده شده اند 11110001 است.در کدام سیستم عددی عدد اعشاری 173 به صورت 445 نمایش داده می شود؟

راه حل.
اجازه دهید پایه مجهول را به صورت X نشان دهیم. معادله زیر را می نویسیم:
173 10 = 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
با در نظر گرفتن این واقعیت که هر عدد مثبت به توان صفر برابر با 1 است، معادله را بازنویسی می کنیم (مبنای 10 را نشان نمی دهیم).
173 = 4 * X 2 + 4 * X + 5
البته چنین معادله درجه دومی را می توان با استفاده از ممیز حل کرد، اما راه حل ساده تری وجود دارد. از سمت راست و چپ 4 کم می کنیم
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 یا 13 2 = (2*X+1) 2
از اینجا به 2*X +1 = 13 می رسیم (ریشه منفی را کنار می گذاریم). یا X = 6.
پاسخ: 173 10 = 445 6

مشکلات در یافتن چندین پایه سیستم اعداد

گروهی از مسائل وجود دارد که در آنها باید تمام پایه های سیستم های اعداد را (به ترتیب صعودی یا نزولی) فهرست کنید که در آنها نمایش یک عدد معین با یک رقم مشخص به پایان می رسد. این مشکل به سادگی حل می شود. ابتدا باید رقم داده شده را از عدد اصلی کم کنید.عدد حاصل اولین پایه سیستم اعداد خواهد بود. و همه پایه های دیگر فقط می توانند مقسوم علیه این عدد باشند. (این عبارت بر اساس قانون تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر ثابت می شود - به بند 4 مراجعه کنید). فقط اینو یادت باشه پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از یک رقم معین باشد!

مثال
جدا شده با کاما، به ترتیب صعودی، تمام پایه های سیستم های اعداد را نشان می دهد که در آنها عدد 24 به 3 ختم می شود.

راه حل
24 – 3 =21 اولین پایه است (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 بر 3 و 7 بخش پذیر است. عدد 3 مناسب نیست، زیرا در سیستم اعداد پایه 3 رقم 3 وجود ندارد.
پاسخ: 7، 21